如何证明函数无界

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如何证明函数无界如下：

一、反证法：假设A=a*sina是函数的上界，即对(0,+无穷)上所有实数，均有F(x)=xsinx<=A，此时sina必大于0。但当x=a+2π时，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina。

因为a+2π＞a，sina>0，所以F(a+2π）＝（a+2π），＊sina>a*sina=A，因此相矛盾了。所以函数f（x）为无界函数。

无界函数即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f(x)在定义域上只有上界或只有下界：或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数。

二、相关信息：

1、有界性：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x。

恒有｜f（x）｜≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

2、单调性：

设函数f（x）的定义域为D时，区间I包含于D。

如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

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函数无界的含义如下：

无界函数的定义：对任意的M>=0且小于正无穷，存在x,使得|f(x)|>=M，则f(x)无界。

设函数的定义域为D，若存在一个常数M(L)，则称为D内有上(下)界的函数，数M(L)称为在D内的一个上(下)界。

设函数若存在一个正数K>0，则称在D内是有界函数；否则，称为无界函数。

拓展：怎么判断函数有、无界？

假定f是D->R的函数，如果存在实数M使得f(x)<=M对一切x∈D成立，那么称f有上界，M是f的一个上界。

类似地，如果存在实数m使得f(x)>=m对一切x∈D成立，那么称f有下界，m是f的一个下界。

如果f既有上界又有下界，那么称f有界，否则称f无界。

如果x->A时lim f(x)存在，那么f在A的局部有界，也就是说存在A的邻域(A-t,A+t)以及实数M使得|f(x)|<=M对一切x∈(A-t,A+t)成立。

不要很随意地说有极限就有界，这样的表述本就太过含糊，比如(0,1)上的函数f(x)=1/x，x->1/2时是否有极限和x->0的行为没有任何关系。

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