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首先说明，在一个集合的偏序关系中，并不是任何2个元素之间都具有偏序关系，例如aRbcRd，但是a与c之间可能就不具有偏序关系R。
下面说明最大元与极大元，最小元与极小元：
最大元：假设a为最大元，则在集合A中，任取元素x，都有xRa。
极大元：假设a为极大元，则任取与a具有关系R的元素x，都有xRa。（也就是说：并不是A中的任意元素都与a有关系R，这就是最大元与极大元的区别）。
最小元：假设a为最小元，则在集合A中，任取元素x，都有aRx。
极小元：假设a为极小元，则任取与a具有关系R的元素x，都有aRx。
最大元，最小元是唯一的，极大元与极小元不唯一。
狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等。
扩展资料
问题
1、四色问题
如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。
这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论却是一个著名的世界难题，1976年数学家通过计算机运算得到证明而成为四色定理，最近人们才发现了一个更简单的证明。
2、中国邮差问题
由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题。由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J． Edmonds和他的合作者给出了一个解答。
讲解一下“极端原理”？要详细！
容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。
1、区域出现重叠。
2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。
二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。
三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。
常见应用
例1某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？
A.165 B.203 C.267 D.199
答案C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。
直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究,解决问题的思想方法称为极端性原则.
一,极端性原理:
1.最小数原理,最大数原理
命题一 有限个实数中,必有一个最小数(也必有一个最大数).
命题二 任意有限个两两不同的实数可以从小到大排列顺序.上述两个命题对无穷多个实数可能不成立,例如对于集合{2-n|n∈N},其中就没有最小的数.
对于自然数集,有
最小数原理 若M是自然数集N的任一非空子集(有限或无限均可),则M中必有最小的数.
2.最短长度原理
最短长度原理1:任意给定两点,所有连接这两点的线中,以直线段的长度为最短;
最短长度原理2:在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有线中,以垂线段的长度为最短.
二,典型例题
(一)考虑问题的极端情形:
引例:平面上有n个(n≥3)点,任三点不共线,证明:存在3点A,B,C,使其余n-3个点都在△ABC外面.
例1 求证:在四面体ABCD中,必有某个顶点,从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
例2 给出平面的一个有限点集,点集中的点不全在一条直线上.证明:存在一条直线,只经过点集中的两个点.
例3 平面上有n个红点与n个蓝点,任意三点都不共线.求证:可以用n条线段连结这2n个点,每条线段连结一个红点与一个蓝点,且这n条线段没有公共点.
例4 有n(n3)个排球队参加单循环赛 (排球赛的每场都要分出胜负) ,比赛结束后,发现没有一个队全胜.求证:必存在三个队A,B,C,使A胜B,B胜C,C又胜A.
例5 有n个男生,m个女生(n,m>1),每一个男生至少与一个女生彼此相识,每个女生不全认识n个男生,证明:他们当中,必有两个男生和两个女生,其中每个男生恰好认识其中一女生,其中每个女生恰好认识其中一男生.
(二)逐步调整法
例6 一群小孩围坐一圈分糖果,老师让他们先每人任取偶数块糖,然后按下列规则调整:所有小孩同时把自己手中的糖分一半给右边的小孩,糖块变为奇数的人向老师要1块糖.这算一次调整.证明:经过有限次调整后,大家的糖就变得一样多了.
(三)无穷递降法
例7 若干个球装在2n+1个口袋中,如果任意取走1袋,总可以把余下的2n袋分成两组,每组n袋,并且这两组的球的个数相等.证明:每个袋中的球的个数都相等.
例8 试求方程x3-2y3-4z3=0的所有整数解.
例9 设正整数n ,m满足n>m,证明:存在的一种不等的倒数分拆,既存在自然数n1(四)构造法与极端性原理
例10 求最大的整数A,使对于由1到100的全部自然数的任意一排列,其中都有10个位置相邻的数,其和大于或等于A.
例11 若平面上有997个点,如果每两点连成一条线段,且中点染成红色.证明:平面上至少有1991个红点,你能找到恰有1991个红点的特例吗
(五)反证法与极端性原理
例12 设a是大于1的自然数,求证:a的所有正因数中,至少有一个是质数.
例13 设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格单调递增函数,f(2)=2,当m,n互质时,有f(mn)=f(m)f(n),求证:对一切自然数n,有f(n)=n.
(六)几个例题
例14 已知,,…,与,,…,是2n个数,且2+2+…+2=1,2+2+…+2=1,求证:,,…,中存在一个值一定不大于1.
例15 求证:单位长的任何曲线能被面积为的闭矩形覆盖.(美国普特南数学竞赛题,1963年)
三,练习
1.某校学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过,问:能不能找到两个学生甲,乙和三本书A,B,C,甲 读过A,B,没有读过C,乙读过B,C,没有读过A 说明判断过程.
2.设P是正n边形的一个内点,证明:在这个正n边形的顶点中,存在两个顶点A,B,满足
(1-)·180°≤∠APB0,记{x}=x-[x].求证:有无穷多个自然数n,使{nα}>.
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